学習工学の機序設計ノート

 なお，本稿では，multiple proportion other than product についても，生成的存在量の導入によって，product of measures として捉え直せる場合があるとみなす。少なくとも，Vergnaud が例示する事例に関しては，人週や頭日のような合成量を立てることで，「1人週あたりの消費量」や「1頭日あたりの生産量」を媒介とする表現に再構成することが可能である。

 存在量命題テンプレート ［量概念］が［数値］［単位］ 関係量命題テンプレート ［量概念A］1［単位A］あたりの［量概念B］が［数値］［単位B］ 〇％表現 元表現：食塩水濃度5％ 言いかえ：食塩水の重さ100gあたりの食塩の重さが5g 正規化：食塩水の重さ1gあたりの食塩の重さが0.05g 〇倍表現 元表現：BさんはAさんの5倍のお金をもっている 言いかえ：Aさんのお金1円あたりのBさんのお金が5円 言いかえ：[Aさんのお金]1[円]あたりの[Bさんのお金]が[5][円] 量概念A：Aさんのお金，単位A：円，量概念B：Bさんのお金，数値：５，単位B：円

1あたり量への言いかえと構造探究 倍表現や％表現をそのまま用いることは，問題を解くという観点では十分な利点をもつ。これらの表現は，基準量や比較量を文脈に即して把握しやすく，求答に必要な関係の見通しも得やすいからである。とくに，倍や割合・百分率のような表現では，基準量と比較量の区別が表現上比較的明確であり，そのことが求答のしやすさを支えている。 一方で，本研究が目指すのは，個々の問題の解法習得ではなく，異なる文脈に現れる乗法構造の同一性を，比較・再構成を通して探究することである。この観点からは，倍や％，速度などの表現を，必要に応じて1あたり量へと言いかえ，関係量として明示化することにより，背後にある比例構造を共通の乗法構造として捉えやすくなる。また，この言いかえは，それらの表現を三角図および二重三角図へ接続し，外的表象として比較・操作するための基礎ともなる。 なお，％や倍は，同種量どうしの比として数値表現上は無名数として扱われることが多いが，そのことは，基準量と比較量の区別まで失われることを意味しない。たとえば，食塩水5％は「食塩水100gあたり食塩5g」，さらに「食塩水1gあたり食塩0.05g」と読み替えることができる。また，「BさんがAさんのお金の5倍をもっている」という関係も，「Aさんのお金1あたり，Bさんのお金5」と表すことができる。このように，％や倍も，表面的には無名数として表される一方で，構造的には基準量と比較量の役割をもつ関係として捉えることができる。 比例を1あたり量として捉える考え方自体は，数学教育研究において広く共有されている。Vergnaud は，比例場面における異種量どうしの比を function ratio または rate と位置づけ，intensive quantity とも関係づけている。また，我が国の学習指導要領解説においても，第5学年で単位量当たりの大きさ，割合，百分率，簡単な比例関係が関連づけて扱われている。一方で，教材や授業では，倍や％などの表現がそのまま扱われることも多く，1あたり量としての共通構造が常に前面化されているわけではない。したがって，本研究の立場は，既存の考え方を踏まえつつ，それを構造探究の観点から明示的に前景化するものと位置づけられる。さらに，本研究の特徴は，この共通構造を二重三角図という外的表象によって可...

 読解 　　テキスト読解 　　構造読解 　　　　直接的構造読解 　　　　構成的構造読解 　　　　再構成的構造読解 　　　　　他者構造再構成的読解 　　　　　自己構造再構成的読解 本研究では，読解を，学習対象の提示形式およびその構造への操作の有無に基づいて分類する。まず，文章として提示された情報を対象とするテキスト読解と，概念マップなどの関係構造として提示された情報を対象とする構造読解とを区別する。さらに構造読解を，構造への介入の程度に応じて，直接的構造読解，構成的構造読解，再構成的構造読解に区分し，再構成的構造読解をその対象の違いに基づいて，他者構造再構成的構造読解と自己構造再構成的構造読解に区分する。 構成と再構成はいずれも，意味の生成と検討を含む過程であるが，その認知的機能には重要な違いがある。構成は，学習者の内的理解を概念や関係として外的表象へと表出する過程であり，主として内的表現の外化として進行する。この過程にも局所的な吟味や修正は含まれるものの，外化された構造を改めて内的理解と照合し直すことは課題遂行上必須ではない。 これに対して再構成は，いったん外化された意味構造を対象とし，それを再配置・再接続といった外的操作によって再構成するとともに，その構造を内的理解と対応づけ（同定）し，両者を照合する過程を伴う。このように，再構成は外的操作と内的照合が往復する過程であり，照合過程において外的表現と内的理解との不一致が顕在化するため，意味の妥当性の検討および修正が不可避となる。すなわち，再構成は外化を含む生成的過程であると同時に，外化された意味を対象化し，その妥当性を検証しながら再生成する過程であり，検証的処理を必然化する点に特徴がある。 1. テキスト読解 テキスト読解 とは，文章として提示された情報を逐次的に解釈し，文脈に基づいて意味を構成する読解活動である。学習者は，文や段落の連なりを追いながら，記述内容の理解，推論，関係づけを行う。 2. 構造読解 構造読解 とは，概念マップなどの外的表象において明示された概念および概念間関係を対象とし，その関係構造を解釈する読解活動である。学習者は，個々の概念の意味だけでなく，概念相互のつながり，全体構造，整合性を把握しながら理解を形成する。 3. 直接的構造読解 直接的構造読解 とは，提示された概念マップを完成し...

タイトル 概念マップの構造読解と再構成的読解が批判的理解に与える影響 研究目的 概念マップに対する構造読解と再構成的読解という二つの読解様式を比較し，それらが学習者の批判的理解および意味構成過程に与える影響を明らかにすることを目的とする。 構造読解 構造とは，提示された概念マップを完成した外的表象として受け取り，その構造を変更することなく，そこに表現された概念および概念間関係をそのまま解釈する読解活動である。 再構成的読解 再構成的読解とは，提示された概念マップを操作可能な外的表象として扱い，概念や関係を再配置・再構成しながら意味を解釈する読解活動である。この過程では，概念間関係の妥当性や整合性の検討が伴う。 批判的理解 批判的理解とは，学習対象の内容をそのまま受け取るのではなく，概念間の関係の妥当性や整合性，不足や不整合を吟味し，必要に応じて再解釈や修正を行いながら形成される理解を指す。 仮説 構造読解が与えられた関係構造の解釈を中心とするのに対し，再構成的読解はその関係の妥当性の検討および再構築を伴うため，より批判的理解を促す読解様式であると位置づけられる。 ーーー 学習活動における認知的関与の深さは，ICAPフレームワーク（Chi & Wylie, 2014）においても示されており，情報を再構成する活動は単なる受動的理解よりも深い学習をもたらすとされている。また，概念マップは知識構造の外化手段として有効であることが指摘されており（Novak & Cañas, 2008; Nesbit & Adesope, 2006），その構成過程は生成的学習を促す（Wittrock, 1990）。一方で，批判的理解は情報の妥当性を評価する過程を含む理解として定義される（Ennis, 1985）。 しかし，これらの活動が学習課題においてどの程度必然的に生起するかは別の問題である。構造読解においては，学習者は提示された構造をそのまま解釈することが可能であり，構成や評価的処理は任意にとどまる。一方，再構成的読解においては，概念間関係を再配置・修正することが課題遂行の前提となるため，構成および評価的処理が不可避となる。 本研究では，これらの知見を踏まえ，概念マップの再構成がこのような評価的処理を内在化する可能性を検討する。  Chi, M. T. ...

  定義的比例・定義的反比例のまとめ 1. 基本的な立場 今日の議論では，比例・反比例を，まず 量の意味構造 から定義しようとしました。 つまり， 存在量 ：対象・状態・時点において実体的に捉えられる量 関係量 ：二つの存在量の関係として定義される量 という区別を前提にして，比例・反比例を捉える立場です。 この立場では，比例・反比例は「式の形」より先に， 二つの存在量のあいだに，一定の関係量が成り立つ構造 として理解されます。 2. 定義的比例 定義 定義的比例 とは， 二つの存在量 A , B A, B A , B のあいだに， 一定の関係量 r r r （単位あたり量・率・倍・1つ分の大きさなど） が定義され， その一定性によって一方が他方に従って決まる構造 です。 式で書けば， B = r A B = rA B = r A の形になりますが，本質は式そのものではなく， A , B A, B A , B が存在量であり， r r r が両者のあいだの 関係量 であり， その r r r が一定である ということにあります。 例 1個6円のあめを4個買う 存在量：個数，代金 関係量：1個あたり6円 1分で80m進む 存在量：時間，距離 関係量：速さ 80m/分 3倍 存在量：もとの量，くらべる量 関係量：倍 特徴 乗法，等分除，包含除の三用法は，いずれもこの一定関係量に基づく操作として統一できる。 比例とは，**「一定の関係量をもつ二存在量の構造」**である。 したがって，「比例かどうか」は，単にグラフが原点を通るかではなく， 一定関係量で二量が結ばれているか で判断できる。 3. 定義的反比例 定義 定義的反比例 とは， 二つの存在量 A , B A, B A , B のあいだに， 一定の構成関係量 k k k （積として定まる一定量） が定義され， 一方が増えると他方がそれに応じて減ることで，その一定性が保たれる構造 です。 式で書けば， A B = k ⇔ B = k A AB = k \quad \Leftrightarrow \quad ...

  「数学的な見方・考え方」は，「事象を数量や図形及びそれらの関係などに着目して捉え，論理的，統合的・発展的に考えること」と定義されており，「事象を数量や図形及びそれらの関係に着目して捉え」とは「量や量間の関係に着目する」こと，「統合的」とは「既習の事項と結びつける」こと，「発展的」とは「新たな視点から捉え直す」ことなどとして解釈されている［ 1 ］．とりわけ，速さや密度，濃度といった量は，算数・数学だけでなく理科における観察や実験結果の解釈の基盤を成す量であり，それらを量間の関係として構造的に捉えることは，科学的な見方・考え方の形成にとっても重要である．この見方・考え方に従えば，算数文章題に取り組む意義は，事象に含まれる諸量および量間の関係を認識し，さまざまな視点から吟味することにあるといえる．しかしながら，従来の文章題指導では，答えを計算によって求めること自体が指導の中心となる傾向が強く，量および量間の関係を統合的・発展的に捉える指導は十分には行われてこなかったと考えられる． [1] 文部科学省：「数学的な見方・考え方」，教育課程部会算数・数学ワーキンググループ参考資料 2 (2016).

  2.1 算数文章題の理解 算数文章題の理解と解決は、問題文に含まれる数量関係を適切に解釈する過程として研究されてきた。文章題は単なる計算問題とは異なり、問題文に記述された状況を解釈し、そこに含まれる数量関係を把握したうえで適切な演算を決定する必要がある。このため、文章題研究では、問題文の意味理解や数量関係の把握が重要な要素として位置づけられている。 文章題理解の研究では、問題文に含まれる数量関係の構造をモデル化する試みが行われてきた。たとえば、文章題に含まれる数量関係を意味構造として整理する研究では、加法・減法に関わる構造や乗法・除法に関わる構造など、数量関係の型を分類する枠組みが提案されている（Carpenter et al., 1999; Verschaffel et al., 2000）。これらの研究は、文章題の理解を数量構造の把握として捉える視点を提示している。 一方で、実際の学習活動では、問題を解くこと自体が主な目標となり、問題が対象としている数量構造そのものを操作的に扱う機会は必ずしも多くない。その結果、学習者は個別の問題の解法を習得しても、その背後にある数量関係の構造を十分に理解しないまま学習を進める可能性がある。 2.2 比例理解に関する研究 比例は算数・数学における重要な数量関係の一つであり、二つの量の間の一定の関係によって特徴づけられる構造として理解される。比例理解に関する研究では、単位量あたり量（unit rate）や比の概念、比例関係の表現などを中心に、学習者の理解の発達が研究されてきた（Lamon, 2007 など）。 比例理解では、関係量の意味理解が重要であり、単位量あたり量を用いて数量関係を把握することが強調されている。また、比例関係には、乗法、等分除、包含除などの複数の演算的解釈が存在することが指摘されている。しかし、これらの研究の多くは、比例問題の解決方法や概念理解に焦点を当てており、比例構造そのものを操作的に扱い、その変形や成立条件を体系的に探究する学習活動については十分に検討されていない。 2.3 外的表象を用いた数量構造理解 数量構造の理解を支援する方法として、図表や概念図などの外的表象を用いる学習活動が提案されてきた。外的表象は、問題に含まれる数量関係を可視化することで、学習者が数量構造を把握...

Post-Answer Learning:  Exploring Proportional Structures of Arithmetic Word Problems through Reconstruction and What-if-not with the Double-Triangle Diagram １．序論 算数文章題の学習では，通常，問題文を読み取り，数量関係を把握したうえで適切な演算を決定し，答えを求めることが中心となる。このような学習では，問題を解くこと自体が主な目標となり，問題が対象としている数量関係やその構造そのものが学習対象として明示的に扱われるとは限らない。その結果，学習者は個別の問題の解法を習得しても，その背後にある数量構造を十分に理解しないまま学習を進める可能性がある。 とくに比例は，算数・数学において重要な数量関係の一つであり，二つの存在量の間の一定の関係量によって特徴づけられる構造である。比例構造の理解には，関係量や逆関係量の意味，および同一の関係量に対する三用法（乗法・等分除・包含除）などを含む体系的な理解が必要となる。しかし，従来の算数文章題学習では，比例構造そのものを操作的に扱い，その成立条件や変形可能性を体系的に探究する機会は必ずしも十分に与えられていない。 このような問題意識に基づき，本研究では**「答えから始まる学習」**を提案する。従来の文章題学習が問題文から演算を決定し答えに到達する過程を重視してきたのに対し，本研究では，すでに求められた答えを起点として問題の数量構造を再構成し，その構造を変換・比較しながら理解する学習活動を設計する。このように答えから出発して構造を探究することにより，個別の問題解決にとどまらず，問題が対象としている数量構造そのものを学習対象として扱うことを目指す。 本研究では，算数文章題における比例構造の基本形を，二つの存在量とそれらを結ぶ関係量および逆関係量からなる 二重三角図 として表現する。この表現を比例構造を記述するドメインモデルとし，学習者は自分が解ける問題に対して二重三角図の組み立てと変更を行う。これにより，問題が対象としている比例構造を操作的かつ網羅的に扱うことが可能となる。 本研究の設計は， オープン情報構造アプローチ の考え方に基づく。すなわち，比例構造を表すドメインモ...

  8. 教育的意義 本研究では，算数文章題に含まれる数量関係を，二つの存在量と一つの関係量からなる三量構造として記述する存在量・関係量モデルを提案し，その枠組みを数量構造オントロジーとして整理した。本章では，本研究の枠組みが算数教育および学習支援において持つ意義について述べる。 8.1 数量関係の明示化 算数文章題の学習では，問題文に含まれる数量関係を適切に把握することが重要である。しかし実際の学習では，数値に着目して計算手続きを選択することが先行し，数量関係の構造そのものが明示的に扱われない場合が多い。 本研究で提案した三量構造モデルは，文章題に含まれる数量関係を 存在量 関係量 の関係として整理することで，問題に含まれる数量構造を明示的に表現する枠組みを与える。この枠組みにより，学習者は文章題に含まれる数量関係を構造として理解することが可能になる。 8.2 四則演算の構造的理解 本研究では，加法・減法・乗法・除法を独立した計算手続きとしてではなく，存在量と関係量の構造から導かれる数量関係として整理した。すなわち， 合併 → 加法 差 → 減法 比率 → 乗法 逆比 → 除法 という対応関係によって，四則演算を数量構造の観点から理解することができる。 このような整理は，四則演算を個別の計算規則として学習するのではなく，数量関係の構造として理解することを可能にする。 8.3 図式表現による数量構造の可視化 本研究では，数量構造を図式的に表現する方法として三角構造および二重三角構造を整理した。これらの図式表現は，文章題に含まれる存在量と関係量の関係を視覚的に示すことができる。 特に二重三角図は， 同一の存在量対から複数の関係量が定義されること 加減構造と乗除構造の対応関係 を視覚的に示すことができるため，数量構造の理解を支援する表現として有用である。 8.4 学習支援システムへの応用 本研究で提案した数量構造オントロジーは，算数文章題の学習支援にも応用可能である。例えば，文章題を解く過程では， 問題文に現れる存在量を同定する 存在量間の関係量を特定する 関係量を用いて未知量を導く という手順が必要となる。本研究の枠組みは，これらの過程を数量構造と...

  7. 数量構造オントロジー 本研究では，算数文章題に含まれる数量関係を記述する枠組みとして，存在量と関係量に基づく三量構造モデルを提案した。本章では，このモデルを算数文章題の 数量構造オントロジー として位置づける。 本研究の基本的な立場は，算数文章題に現れる数量関係が， 二つの存在量と一つの関係量 からなる三量構造として記述できるというものである。存在量は対象や状態に対応する量であり，関係量は二つの存在量の関係として定義される量である。この枠組みにより，算数文章題の数量関係は ( E 1 , E 2 , R ) (E_1, E_2, R) ( E 1 ​ , E 2 ​ , R ) という形式で表すことができる。 関係量はさらに， 対応関係量 変化関係量 に分類される。対応関係量は，同時に成立する二つの存在量の関係として定義される量であり，合併，差，比率，逆比などが含まれる。一方，変化関係量は，時間的に異なる状態を表す存在量の関係として定義される量であり，変化量として表される。 このような関係量の区別により，算数文章題に現れる数量構造は， 対応関係量に基づく 二重三角構造 変化関係量に基づく 単三角構造 として整理することができる。 本研究で提案する数量構造オントロジーは，算数文章題に含まれる数量関係を統一的に記述するための概念枠組みを与えるものである。ただし，本研究が対象とするのは文章題のすべての要素ではなく，その中核となる 数量構造 である。文章題には，対象概念，単位，状況，制約条件などの要素が含まれるが，これらは数量構造そのものではなく，数量関係を成立させる条件として理解される。本研究ではこれらの要素を CONTEXT として扱い，数量構造オントロジーの外部条件として位置づける。 例えば，「りんごの個数」と「みかんの個数」を加える問題では，両者は異なる対象に対応する量であるが，「果物の個数」という上位概念への読み替えによって同一の量として扱われる。このような概念的操作は数量構造そのものではなく対象概念の階層関係に関わるものであり，本研究ではCONTEXTに含める。 以上より，本研究のモデルは算数文章題の完全なドメインオントロジーではなく，その中核となる 数量構造オントロジー を与えるものと...

  6. 四則演算の数量構造 前章までに，算数文章題の数量構造が，二つの存在量と一つの関係量からなる三量構造として記述できることを示した。本章では，この枠組みに基づき，加法・減法・乗法・除法を個別の計算手続きとしてではなく， 存在量と関係量の構造から導かれる数量関係 として整理する。 6.1 加減構造 加法および減法に関わる数量構造では，二つの存在量の関係として 合併 差 変化量 という関係量が現れる。 6.1.1 対応関係量：合併と差 二つの存在量が同時に成立する場合，それらの関係として 合併 差 が定義される。 例えば， 赤い箱のりんごの個数 青い箱のりんごの個数 という二つの存在量があるとき， 合併：二つの箱にあるりんごの個数 差：二つの箱のりんごの個数の違い が定義される。 この構造は図式的には次のように表される。 合併 / \ 赤い箱 青い箱 \ / 差 ここでは，同一の存在量対から二つの関係量が定義されるため，二重三角構造が形成される。 6.1.2 変化関係量：変化量 一方，加減構造では時間的変化を表す関係量も現れる。 例えば， 5個あったりんご 2個食べた という状況では， 変化前のりんごの個数 変化後のりんごの個数 という二つの存在量の関係として，変化量が定義される。 この関係は 変化量 / \ 変化前 変化後 として表される。 ここで重要なのは，増加と減少は独立した関係量ではなく， 変化量の符号による解釈 として理解される点である。すなわち， 正の変化量 → 増加 負の変化量 → 減少 である。 このように，変化構造では一つの関係量のみが定義されるため，単三角構造として表される。 以上より，加減構造では 合併 差 変化量 という三種類の関係量が現れる。 6.2 乗除構造 乗法および除法に関わる数量構造では，二つの存在量の対応関係として 比率 逆比 という関係量が定義される。 例えば， 箱の数 りんごの個数...

  5. 数量構造の図式表現 前章では，算数文章題に現れる関係量の体系を整理し，対応関係量と変化関係量の区別を示した。本章では，これらの数量構造を表現するための図式表現について整理する。序論では三量構造の例として三角構造を示したが，本章ではこれらの図式表現を一般化し，数量構造の表現方法としての役割を明確にする。 5.1 三量構造の図式表現 三量構造は， 二つの存在量 一つの関係量 から構成される。この関係は，図式的には三角形の構造として表現することができる。 この三角構造は，関係量が二つの存在量の関係として定義されることを示している。すなわち， 上部に関係量 下部に存在量 を配置することで，関係量が存在量の関係として成立していることを表現する。 この表現は，加減構造および乗除構造のいずれにおいても共通に用いることができる。例えば， 合併 比率 などは，いずれも三角構造によって表現される。 このように，三角構造は三量構造を可視化するための基本的な図式表現として位置づけることができる。 5.2 二重三角構造 対応関係量では，同じ存在量対から複数の関係量が定義される場合がある。前章で示したように， 合併と差 比率と逆比 は同一の存在量対から定義される関係量である。 このような場合，二つの三角構造を上下に重ねた形として表現することができる。この構造が本研究でいう 二重三角構造 である。 二重三角構造では， 上部に関係量1 下部に関係量2 中央に二つの存在量 が配置される。 この図式表現により，同じ存在量対から複数の関係量が定義されることを視覚的に示すことができる。 二重三角構造は，数量関係の対称性を表現する図式として理解することができる。すなわち， 合併と差 比率と逆比 は，いずれも同じ存在量対から定義される対応関係量であり，この対称性が図式的に表現されている。 5.3 単三角構造 対応関係量とは異なり，変化関係量では同一の存在量対から二つの関係量を定義することができない。変化関係量では， 変化前の量 変化後の量 という時間的に異なる二つの状態の関係として，変化量が定義される。 この場合，数量構造は一つの三...

  4. 関係量の理論 前章では，算数文章題の数量構造を， 二つの存在量と一つの関係量からなる三量構造 として記述できることを示した。本章では，この三量構造における関係量の性質を整理し，算数文章題に現れる関係量の体系を示す。 4.1 関係量の基本的性質 関係量は，二つの存在量の関係によって定義される量である。すなわち，存在量 E 1 E_1 E 1 ​ と E 2 E_2 E 2 ​ が与えられるとき，関係量 R R R は R = f ( E 1 , E 2 ) R = f(E_1, E_2) R = f ( E 1 ​ , E 2 ​ ) として定義される。 算数文章題において重要な点は，同じ存在量対から 複数の関係量が定義される場合がある ことである。例えば，二つの存在量 A A A と B B B に対しては， 合併 A + B A+B A + B 差 A − B A-B A − B という二つの関係量が定義される。 同様に，比例関係では， 比率 A / B A/B A / B 逆比 B / A B/A B / A という二つの関係量が定義される。 このように，算数文章題に現れる関係量は，単一の関係としてではなく， 存在量対に対して定義される関係量の集合 として理解することができる。 4.2 対応関係量 対応関係量は，同時に成立する二つの存在量の関係として定義される関係量である。代表的な対応関係量としては， 合併 差 比率 逆比 が挙げられる。 4.2.1 合併と差 加減構造においては，二つの存在量 A A A と B B B から A + B A+B A + B によって合併が定義される。また， A − B A-B A − B によって差が定義される。 これらは同一の存在量対から定義される二つの関係量であり，図式的には図7のように表される。 図7　合併と差の二重三角構造 合併 / \ A B \ / 差 4.2.2 比率と逆比 乗除構造においては，二つの存在量 A A A と B B B から A / B A/B A / B によっ...