第５章２０２６０３１２

 

5. 数量構造の図式表現

前章では，算数文章題に現れる関係量の体系を整理し，対応関係量と変化関係量の区別を示した。本章では，これらの数量構造を表現するための図式表現について整理する。序論では三量構造の例として三角構造を示したが，本章ではこれらの図式表現を一般化し，数量構造の表現方法としての役割を明確にする。

5.1 三量構造の図式表現

三量構造は，

  • 二つの存在量

  • 一つの関係量

から構成される。この関係は，図式的には三角形の構造として表現することができる。

この三角構造は，関係量が二つの存在量の関係として定義されることを示している。すなわち，

  • 上部に関係量

  • 下部に存在量

を配置することで，関係量が存在量の関係として成立していることを表現する。

この表現は，加減構造および乗除構造のいずれにおいても共通に用いることができる。例えば，

  • 合併

  • 比率

などは，いずれも三角構造によって表現される。

このように，三角構造は三量構造を可視化するための基本的な図式表現として位置づけることができる。

5.2 二重三角構造

対応関係量では，同じ存在量対から複数の関係量が定義される場合がある。前章で示したように，

  • 合併と差

  • 比率と逆比

は同一の存在量対から定義される関係量である。

このような場合，二つの三角構造を上下に重ねた形として表現することができる。この構造が本研究でいう二重三角構造である。

二重三角構造では，

  • 上部に関係量1

  • 下部に関係量2

  • 中央に二つの存在量

が配置される。

この図式表現により，同じ存在量対から複数の関係量が定義されることを視覚的に示すことができる。

二重三角構造は，数量関係の対称性を表現する図式として理解することができる。すなわち，

  • 合併と差

  • 比率と逆比

は，いずれも同じ存在量対から定義される対応関係量であり，この対称性が図式的に表現されている。

5.3 単三角構造

対応関係量とは異なり，変化関係量では同一の存在量対から二つの関係量を定義することができない。変化関係量では，

  • 変化前の量

  • 変化後の量

という時間的に異なる二つの状態の関係として，変化量が定義される。

この場合，数量構造は一つの三角構造によって表される。本研究ではこれを単三角構造と呼ぶ。

単三角構造では，

  • 上部に変化量

  • 下部に変化前と変化後の存在量

が配置される。

この構造は，対応関係量のように複数の関係量が同時に定義されないことを示している。

5.4 二重三角図の位置づけ

数量関係を図式的に表現する方法として，本研究では二重三角図を用いる。二重三角図は，三量構造および対応関係量の関係を視覚的に表現する方法であり，算数文章題の数量構造を可視化する手法として位置づけられる。

二重三角図の特徴は，数量関係を

  • 存在量

  • 関係量

の関係として明示的に表現できる点にある。特に，対応関係量の場合には，同一の存在量対から複数の関係量が定義されることを視覚的に示すことができる。

また，二重三角図は算数文章題の解決過程を説明するための表現としても利用することができる。例えば，文章題を解く際には，

  1. 問題文に現れる存在量を同定する

  2. 存在量間の関係量を特定する

  3. 関係量を用いて求める量を導く

という手順が必要となる。二重三角図は，これらの関係を構造として表現することで，数量関係の理解を支援することができる。

5.5 図式表現の役割

以上のように，本研究で用いる図式表現は，数量構造そのものを定義するものではなく，数量構造を可視化するための表現方法として位置づけられる。すなわち，

  • 三量構造

  • 関係量体系

は理論的構造であり，三角構造や二重三角図はそれを表現するための図式である。

この区別により，

  • 数量構造（理論）

  • 図式表現（表現方法）

を明確に分離することができる。二重三角図は，存在量・関係量モデルに基づく数量構造を視覚的に表現する方法として位置づけられる。

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